Один раз дать через рот можно, но нужно ведь 2 раза в сутки, не менее 2 недель. А байтрил, во-первых, неэффективен при выпаивании внутрь, а во-вторых, настолько противен на вкус, что хомяк может попросту задохнуться. Такие случаи бывали, увы.
В Новосибирске есть нормальные антибиотики, например Энрофлон (для выпаивания) или Энроксил в таблетках (15 мг). Купите, я распишу лечение.
Но. Проверьте ватной палочкой защечный мешок - есть ли внутри гной. Тогда нужно будет добавить наружные обработки. Если есть выделения из глаз - нужны глазные капли с антибиотиком. Вы об этом ничего не пишете.