Начну с носа: у кошек нормально если немного повышается температура при стрессе, повышении температуры окружающей среды. Во время сна у всех кошек нос сухой и теплый, но температура тела при этом всегда в норме. Часто дышит или от жары или от волнения. Шипит и люется от страха. Если есть сомнения в самочувствии котика, лучше измерить температуру ректально, нос в этом случае не показателен.
По поведению: конечно идиально было бы оставить кота у него дома, а Вы приходили бы раз-два в день покормить, убрать, пообщаться по мере возможностей. Сейчас у котика двойной стресс - нет его владельцев и, что еще хуже, переезд в новый дом. Если Вы не можете вернуть кота к нему домой и там его навещать, то не беспокойте котика без надобности, не тревожте, не трогайте. Пусть думает что Вы о нем забыли, если ему будет нужно - сам выйдет. Другом Вы ему всеравно не станете за такой промежуток времени, а лишний стресс нам не нужен.