Кота надо все таки  показать врачу. Попробуйте доставить котика в вет. клинику, там обычно животные более покладистые. В крайнем случае осмотр и необходимые обследования можно провести под седацией. По симптомам, которые Вы описываете можно предположить такие заболевания как отравление пищевое и непищевое(крысиный яд не исключён),инфекционное заболевание, травма пищевода или стенки желудка инородным предметом, например косточкой.

Каждое заболевание требует определённого подхода и свой прогноз. В любом случае, какова бы не была причина, рвота с кровью является угрожающим жизни симптомом, может указывать на внутреннее кровотечение. При таких серьёзных предположительных диагнозах нельзя дать какие то общие рекомендации. Надо как можно быстрее выявить причину болезни и провести соответствующее адекватное лечение.