Кот ест только сухой корм и очень сильно линяет

А каким именно сухим кормом кормите?
Нормальная еда - это натуральное питание? :) Если да, то переводить на него нужно с сухого корма постепенно,  в течение недели увеличивая в рационе количество натуры и уменьшая количество сушки.
Необходимо помнить, что для кошки натуральное питание - это не объедки с человеческого стола, колбаса, сыр и тому подобное, их кошкам вообще давать нельзя. Натуральное питание - это куриное мясо, говядина и субпродукты с кашами (причём каши должны составлять всего около 10% рациона!), можно давать понемногу кисломолочные продукты (кефир, ряженка), куриные и перепелиные яйца.