Странное поведение у новой кошки

Добрый день! На прошлых выходных взяли из приюта взрослую кошку, беспородную, около 2,5-3 лет. Утверждается, что стерилизована и привита (книжка с информацией о прививках есть).

Кошка все дни находится почти непрерывно рядом с нами - старается одной в другие комнаты, особенно темные, не ходить. Тычется мордочкой (даже не лбом, а скорее глазами и носом) в руки, но при этом есть ощущение, что ждет не только поглаживаний, но еще чего-то. Ткнется - и проходит мимо,потом снова разворачивается, ткнется, проходит. На коленях или руках не сидит, долго гладить дает только когда ложится. В то время, пока не спит (если не гладим ее) бродит по комнате, трется мордочкой о все предметы, жалобно мяукает - на разные лады, будто разные слова. Как будто что-то ищет или ее что-то беспокоит.
Вода, еда, лоток - все есть, все доступно, всем пользуется.

Иногда без каких-то предпосылок (никаких шумов, движений, действий в это время не происходит) сильно пугается чего-то - прижимается к земле, а затем со всех ног бежит в выбранное укромное место, прячется и оттуда громко жалобно кричит. Если поговорить, приласкать почти сразу успокаивается. Аналогично убегает (либо в убежище, либо просто подальше от лотка), смотрит круглыми испуганными глазами и кричит после того, как сделает все дела в лоток (силикагелевый наполнитель, ходит туда исправно). Также порой начинает играть/нападать на какие-то предметы (листики растений, лямки рюкзака), после нескольких бросков также пугается и убегает/кричит. Если с ней начать разговаривать/гладить, то успокаивается, ложится, а минут через 5 либо начинается по новой, либо идет спать. Если же находиться изначально рядом с ней - просто ходит, исследует стоящие вокруг предметы, трется о них и человека, но пугается намного реже, будто чувствует себя под защитой.

Предположили, что, возможно, все же не стерилизована. Посмотрели признаки поведения кошек во время эструса. Чем-то похоже, когда гладим ближе к хвосту, явно заднюю часть тела чуть приподнимает/напрягает. Но в остальном непонятно, т.к. слишком мало ее знаем.
Страхи при нападении на предметы, возможно, связаны с тем, что когти слегка запутываются в тканях/насаживаются на листики - возможно, боится этого.

Пока что стараемся не оставлять одну - находимся рядом с ней, разговариваем, гладим или играем, когда она начинает бродить с мяуканьем или видим, что собирается испугаться/испугалась.

Собственно, вопрос: может ли такое поведение говорить о каких-то серьезных проблемах, которые требуют немедленного визита к ветеринару? Или это возможные следствия стресса и стоит подождать/что-то еще сделать? Ветеринара посетить в любом случае собираемся, но хотели дать некоторое время, чтобы не накладывать стресс от нового дома на стресс от похода к врачу.

Заранее спасибо за ответ!