у хомяка гноятся глаза

Тут офтальмолог и не нужен - если имеет место заглазничный абсцесс, его может определить любой ветеринар и при наличии опыта и желания попытаться удалить глаз. Просто не хотят заниматься ювелирной работой - это же надо рассчитать дозировку анестетика, возиться с мелким животным.
Спросите в этой клинике - с грызунами работают, но работают ли именно с хомяками:
Клиника «Сириус»
ул. Воронина 23
8 (484) 257-87-95

В любом случае ваше лечение просто губит хомячка - так много уколов ставить нельзя. Достаточно курса антибиотика байтрил 2,5% по 0,05% каждые 12 часов, при улучшении можно выпаивать антибиотик. С учетом возраста риск «заколоть» хомячка очень велик. И кормить необходимо принудительно из шприца без иглы.
В целом ваши действия должны быть такими:
закапывать 3-4 раза в сутки глазные капли с антибиотиком - одна капля вымывает гной, другая лечит. Выпаивать внутрь антибиотик в таблетках (энроксил 15 мг, дозировка 1/16 таблетки каждые 12 часов). Кормить принудительно.
Обо всем в этом материале (из ссылок нужно убрать пробелы):
http://www.hrumik.ru/health/278-2014-05 -04
(КАК ухаживать за больным или ослабленным хомячком)
http://www.hrumik.ru/health/234-feeding -seak-hamster
(Как кормить больного или ослабленного хомячка)
http://www.hrumik.ru/health/249-drug-int ake
(Как давать лекарства)
http://www.hrumik.ru/health/290-split- tablet
(Как делить таблетки)

Большое спасибо за ответы. Но вчера в клинике сказали, что вылечить уже невозможно. Произошло отмирание глаза, не знаю правильно ли я выражаюсь, но суть в том, что будет сепсис и хомяк будет мучительно умирать. Лимфоузлы сильно увеличены, значит антибиотик не помогает. Я все еще сильно переживаю, что не смотря, на все приложенные усилия, вылечить своего любимогохомячка не смогла.

В клинике вам, повторяю, всё говорят для отвязки - либо вы имеете дело с некомпетентным специалистом. Чтобы не было сепсиса, как раз-таки и нужно убрать глаз. Иначе говоря - это необходимо, чтобы не образовался под отмершим глазом гнойник, который и создаст условия для сепсиса.
Вылечить - это громко сказано, ваши врачи и/или вы сами должны обеспечить условия, чтобы хомячок не умирал мучительно, для этого нужно убирать воспаление, именно оно и создает боль.
Что вы делаете из того, что вам предложили?